分数函数的导数是微积分中的一个重要概念，它涉及到如何求解形如 \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) 的函数的导数。这里，\(g(x)\) 和 \(h(x)\) 是关于 \(x\) 的可导函数，并且 \(h(x)\) 不等于零。为了计算这种形式的函数的导数，我们通常使用所谓的“商规则”（Quotient Rule）。

商规则（Quotient Rule）

商规则提供了一个直接的方法来计算分数函数的导数。如果有一个函数 \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\)，那么它的导数 \(f'(x)\) 可以通过下面的公式计算：

\[f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\]

这里的 \(g'(x)\) 表示 \(g(x)\) 对 \(x\) 的导数，而 \(h'(x)\) 则表示 \(h(x)\) 对 \(x\) 的导数。这个公式的直观理解是，你首先需要分别计算分子和分母的导数，然后用分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，最后除以分母的平方。

应用实例

假设我们有一个函数 \(f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1}\)，我们可以应用上述公式来找到其导数。首先，识别出 \(g(x) = x^2 + 3x\) 和 \(h(x) = x - 1\)。接下来，计算各自的导数：\(g'(x) = 2x + 3\) 和 \(h'(x) = 1\)。

将这些值代入商规则公式中，我们得到：

\[f'(x) = \frac{(2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x)(1)}{(x - 1)^2}\]

简化表达式：

\[= \frac{2x^2 + x - 3 - x^2 - 3x}{(x - 1)^2}\]

\[= \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}\]

因此，函数 \(f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x - 1}\) 的导数为 \(f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}\)。

通过这种方式，我们可以看到商规则是如何帮助我们处理复杂的分数函数导数问题的。掌握了这个规则，可以更有效地解决各种涉及分数的导数计算问题。