忽必烈和成吉思汗之间存在着直接的家族血缘关系，他们是祖孙两代。成吉思汗是蒙古帝国的创立者，他建立了历史上最庞大的陆地帝国之一；而忽必烈则是成吉思汗的孙子，也是元朝的建立者。

成吉思汗（1162年—1227年），原名铁木真，是中国历史上的著名军事家和政治家。他不仅统一了蒙古各部落，还带领蒙古军队征服了大片土地，包括中亚、东欧以及中国北方的大片区域，为后来的蒙古帝国奠定了基础。成吉思汗去世后，他的儿子们继续扩张蒙古帝国的版图，而他的孙子忽必烈则最终将蒙古人的统治扩展到了整个中国。

忽必烈（1215年—1294年）是成吉思汗四子托雷的第四子，自幼接受汉文化教育，具有很高的汉文化素养。在蒙哥汗去世后，他击败阿里不哥成为大汗，并于1271年定国号为“大元”，次年定都大都（今北京），建立了中国历史上第一个由少数民族建立的大一统王朝——元朝。元朝的建立标志着蒙古人在中国长期统治的开始，忽必烈也成为了中国历史上唯一一位非汉族皇帝。在位期间，他推行了一系列汉化政策，促进了民族融合与文化交流，对后世产生了深远影响。

总之，忽必烈作为成吉思汗的孙子，在继承其祖父开创的基业基础上，进一步巩固和发展了蒙古帝国，特别是在中国境内实现了更广泛的统治，从而在中国历史上留下了深刻的印记。