数学期望是概率论和统计学中的一个核心概念，它描述了随机变量的长期平均值。在不同的场景下，数学期望有着不同的计算方式。下面，我们将介绍一些常见的数学期望公式及其应用。

一、离散型随机变量的数学期望

对于离散型随机变量\(X\)，其所有可能取值为\(x_1, x_2, ..., x_n\)，对应的概率分别为\(p_1, p_2, ..., p_n\)，则\(X\)的数学期望（或均值）定义为：

\[E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i\]

这个公式表明，随机变量的数学期望等于其所有可能取值乘以其对应概率后的加权平均。

二、连续型随机变量的数学期望

对于连续型随机变量\(Y\)，其概率密度函数为\(f(y)\)，则\(Y\)的数学期望定义为：

\[E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} y f(y) dy\]

这个公式说明，连续型随机变量的数学期望可以通过积分的形式来计算，即随机变量取值与概率密度函数乘积的积分。

三、二维随机变量的数学期望

对于二维随机变量\((X, Y)\)，其联合概率密度函数为\(f(x,y)\)，则\((X,Y)\)的数学期望可以分别对每个变量进行计算：

\[E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} x f(x,y) dx dy\]

\[E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} y f(x,y) dx dy\]

这两个公式展示了如何通过双重积分来计算二维随机变量的数学期望。

四、数学期望的性质

- 线性性：若\(a\)和\(b\)是常数，则有\(E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)\)

- 独立性：如果\(X\)和\(Y\)相互独立，则\(E(XY) = E(X)E(Y)\)

这些性质在解决实际问题时非常有用，能够简化复杂的数学期望计算过程。

五、应用实例

数学期望的概念广泛应用于金融分析、风险评估、工程设计等多个领域。例如，在投资决策中，投资者可能会使用预期收益（即数学期望）作为选择投资项目的依据之一；在质量控制中，通过计算产品寿命的数学期望来评估产品质量。

总之，数学期望是理解和处理不确定性问题的重要工具，掌握其计算方法和性质对于深入学习概率论和统计学至关重要。