单位向量是具有长度（或模）为1的向量，它保留了原始向量的方向信息。在数学和物理学中，单位向量是一个非常重要的概念，特别是在描述方向时。下面是如何求解单位向量的步骤：

1. 理解向量的模

首先，我们需要理解向量的模（即向量的长度）。对于二维空间中的向量 \(\vec{v} = (x, y)\)，其模长 \(|\vec{v}|\) 可以通过勾股定理计算得到：

\[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

对于三维空间中的向量 \(\vec{v} = (x, y, z)\)，模长公式为：

\[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

2. 计算单位向量

一旦我们知道了向量的模长，就可以计算出对应的单位向量。单位向量 \(\hat{v}\) 是通过将原向量 \(\vec{v}\) 的每个分量除以其模长来获得的。

对于二维空间中的向量 \(\vec{v} = (x, y)\)，其对应的单位向量 \(\hat{v}\) 为：

\[ \hat{v} = \left( \frac{x}{|\vec{v}|}, \frac{y}{|\vec{v}|} \right) \]

对于三维空间中的向量 \(\vec{v} = (x, y, z)\)，其对应的单位向量 \(\hat{v}\) 为：

\[ \hat{v} = \left( \frac{x}{|\vec{v}|}, \frac{y}{|\vec{v}|}, \frac{z}{|\vec{v}|} \right) \]

3. 示例

假设有一个二维向量 \(\vec{v} = (3, 4)\)，我们可以先计算其模长：

\[ |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

然后，计算单位向量：

\[ \hat{v} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) \]

这样我们就得到了一个模长为1且与原向量方向相同的单位向量。

单位向量的应用十分广泛，例如在计算机图形学中用于计算光照方向，在物理中用于表示力的方向等。掌握如何求解单位向量，能够帮助我们更好地理解和应用这些概念。