判断数列或函数的收敛与发散是数学分析中的基本概念，广泛应用于微积分、级数理论等领域。理解收敛与发散的判断方法对于深入学习数学至关重要。下面介绍几种常用的判断数列或函数收敛与发散的技巧。

1. 定义法

最基本的方法是根据定义来判断。如果一个数列\(\{a_n\}\)当\(n\)趋向于无穷大时，其极限存在且为有限值，则该数列为收敛数列；反之则为发散数列。对于函数，若函数\(f(x)\)在某点或无穷远处的极限存在且为有限值，则该函数在该点或无穷远处收敛；否则发散。

2. 比较判别法

对于正项级数\(\sum a_n\)和\(\sum b_n\)，如果对于所有足够大的\(n\)，有\(a_n \leq b_n\)，且已知\(\sum b_n\)收敛，则\(\sum a_n\)也收敛；反之，如果\(\sum a_n\)发散，则\(\sum b_n\)也发散。这一定理适用于比较两个级数的敛散性。

3. 比值判别法（达朗贝尔判别法）

考虑正项级数\(\sum a_n\)，计算比值\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L\)。如果\(L < 1\)，则级数收敛；如果\(L > 1\)，则级数发散；如果\(L = 1\)，则无法确定，需要其他方法进一步判断。

4. 根值判别法（柯西判别法）

对于正项级数\(\sum a_n\)，计算根值\(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L\)。如果\(L < 1\)，则级数收敛；如果\(L > 1\)，则级数发散；如果\(L = 1\)，则无法确定，同样需要其他方法进一步判断。

5. 积分判别法

对于非负递减函数\(f(x)\)，级数\(\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\)与积分\(\int_{1}^{\infty} f(x) dx\)具有相同的敛散性。如果积分收敛，则级数收敛；如果积分发散，则级数发散。

通过上述方法，我们可以有效地判断数列或函数的收敛与发散情况。掌握这些技巧有助于解决复杂的数学问题，并为进一步的学习奠定坚实的基础。