函数的单调性是函数分析中的一个重要概念，它描述了函数值随自变量变化的趋势。一个函数在某个区间内如果总是增加或减少，则称该函数在这个区间上单调。具体来说，如果函数在某个区间内导数大于零，则函数在这个区间上单调递增；如果函数在某个区间内导数小于零，则函数在这个区间上单调递减。因此，求解函数的单调区间实际上就是求解函数导数的符号变化区间。

求解函数单调区间的步骤：

1. 求导：首先计算给定函数的一阶导数。一阶导数表示了原函数的变化率。

2. 找导数为零的点：解方程f'(x) = 0，找到所有导数等于零的点。这些点可能是函数单调性的分界点。

3. 确定导数符号的变化区间：根据导数为零的点将定义域分割成若干个子区间。然后，在每个子区间内选取一个测试点，代入导数表达式中计算其符号（正或负）。根据导数的符号可以判断函数在该区间上的单调性。

4. 结论：根据上述分析，可以确定函数在各个子区间的单调性，从而得出整个定义域上的单调区间。

示例

假设我们要分析函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)的单调性。

- 第一步：求导得到\(f'(x) = 3x^2 - 3\)。

- 第二步：令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \pm1\)。

- 第三步：将定义域\((-∞, +∞)\)分成三个区间：\((-∞, -1)\)，\((-1, 1)\)，\((1, +∞)\)。分别选择测试点\(x = -2, 0, 2\)，计算\(f'(x)\)的符号。

- 在\((-∞, -1)\)区间内，\(f'(-2) > 0\)，所以\(f(x)\)在此区间单调递增；

- 在\((-1, 1)\)区间内，\(f'(0) < 0\)，所以\(f(x)\)在此区间单调递减；

- 在\((1, +∞)\)区间内，\(f'(2) > 0\)，所以\(f(x)\)在此区间单调递增。

通过这种方法，我们可以准确地找出给定函数的所有单调区间。