几何分布在概率论中是一个非常重要的离散概率分布，它描述的是独立重复试验中首次成功所需试验次数的概率分布。几何分布有两个常用的参数化方式，一种是以首次成功的概率\(p\)作为参数，另一种是以失败的概率\(q=1-p\)作为参数。为了便于理解，我们通常采用以成功概率\(p\)为参数的方式进行讨论。

几何分布的定义

如果随机变量\(X\)表示在一系列独立伯努利试验中首次取得成功所需的试验次数，那么\(X\)服从参数为\(p\)的几何分布，记作\(X \sim Geom(p)\)。其概率质量函数（PMF）可以表示为：

\[P(X=k) = (1-p)^{k-1}p\]

其中\(k=1,2,3,\ldots\)。

期望值

几何分布的期望值（即平均需要多少次试验才能首次成功）可以通过求和公式计算得出。对于参数为\(p\)的几何分布，其期望值\(E(X)\)为：

\[E(X) = \frac{1}{p}\]

这意味着，如果你知道每次试验成功的概率是\(p\)，那么平均来说，你将需要进行\(\frac{1}{p}\)次试验才能首次获得成功。

方差

同样地，几何分布的方差（衡量结果围绕期望值的波动程度）也可以通过特定的公式计算得到。对于参数为\(p\)的几何分布，其方差\(Var(X)\)为：

\[Var(X) = \frac{1-p}{p^2}\]

这个公式告诉我们，随着成功概率\(p\)的增加，方差减小，意味着结果更加集中在期望值附近；反之，如果\(p\)较小，则方差较大，结果更可能偏离期望值。

应用实例

几何分布的应用十分广泛，比如它可以用来预测第一次接通电话所需拨打的次数，或者是在网络游戏中预测首次击败某个难度级别所需尝试的次数等。

总之，理解和掌握几何分布的期望与方差对于深入学习概率论及其应用具有重要意义。