线性回归是统计学中一种用于分析变量之间关系的基本方法，它主要用于预测一个或多个自变量（解释变量）与因变量（响应变量）之间的关系。在线性回归中，我们通常寻找一条直线（在一维情况下）、平面（在二维情况下）或超平面（在多维情况下），该直线或平面能够最好地描述数据点的分布情况。最常用的方法是最小二乘法来求解线性回归方程。

最小二乘法

最小二乘法是一种用来找到最佳拟合直线的方法，其基本思想是最小化预测值与实际观测值之间的平方差之和。假设我们有n个观测点（x1, y1），(x2, y2)，...，(xn, yn)，我们的目标是找到一条直线y = ax + b，使得所有点到这条直线的垂直距离的平方和最小。这个垂直距离的平方和被称为残差平方和（RSS），数学表达式为：

\[RSS = \sum_{i=1}^{n}(y_i - (ax_i + b))^2\]

为了找到最优的a和b，我们需要对上述公式关于a和b分别求偏导数，并令它们等于零。这样做的目的是找到使得RSS最小的a和b的值。

求导过程

1. 对a求偏导数并令其等于0：

\[\frac{\partial RSS}{\partial a} = -2\sum_{i=1}^{n}x_i(y_i - (ax_i + b)) = 0\]

2. 对b求偏导数并令其等于0：

\[\frac{\partial RSS}{\partial b} = -2\sum_{i=1}^{n}(y_i - (ax_i + b)) = 0\]

通过解这两个方程，我们可以得到a和b的具体值。简化后的公式为：

\[a = \frac{n\sum{x_iy_i} - (\sum{x_i})(\sum{y_i})}{n\sum{x_i^2} - (\sum{x_i})^2}\]

\[b = \frac{\sum{y_i} - a(\sum{x_i})}{n}\]

这里，\(x_i\) 和 \(y_i\) 分别代表第i个观测点的自变量和因变量值，n表示观测点的数量。

结论

通过上述步骤，我们可以计算出线性回归方程中的参数a（斜率）和b（截距）。这将帮助我们理解自变量与因变量之间的线性关系，并可用于预测新的数据点。最小二乘法提供了一种简单而有效的方法来估计这些参数，使得模型能够尽可能准确地反映数据的趋势。