正交矩阵是一类在数学，特别是线性代数中非常重要的矩阵。这类矩阵的特点是其列向量和行向量都是标准正交基。简单来说，如果一个方阵\(Q\)满足\(Q^TQ = QQ^T = I\)（其中\(I\)是单位矩阵，\(Q^T\)表示\(Q\)的转置），那么\(Q\)就是一个正交矩阵。

正交矩阵的特征值

对于正交矩阵的特征值，有以下几个重要性质：

1. 模长为1：正交矩阵的特征值的模长总是等于1。这意味着如果\(\lambda\)是正交矩阵\(Q\)的一个特征值，那么\(|\lambda| = 1\)。这一性质可以通过考虑特征值与特征向量的关系以及正交矩阵的定义来证明。

2. 可能为实数或复数：正交矩阵的特征值可以是实数也可以是复数。但是，由于模长为1的特性，如果特征值是复数，则它必须是单位圆上的点，即形如\(e^{i\theta}\)的形式，其中\(\theta\)是一个实数。

3. 特征值的乘积等于行列式的值：对于任何方阵，其所有特征值的乘积等于该矩阵的行列式。因此，对于正交矩阵，所有特征值的乘积等于\(\pm1\)，这是因为正交矩阵的行列式要么是1要么是-1。

4. 存在一对共轭复数特征值：如果正交矩阵的阶数\(n\)是偶数，那么它的特征值中一定存在成对出现的共轭复数特征值。这是因为在复数域上，特征多项式是实系数的，所以非实数的根总是成对出现。

结论

正交矩阵的这些性质不仅揭示了它们在几何变换中的作用（如旋转和平移），而且也展示了它们在理论研究中的重要性。例如，在信号处理、量子力学等领域中，正交矩阵因其特殊的性质而被广泛应用。理解正交矩阵的特征值性质有助于我们更深入地探索这些领域的应用。