导数的除法公式，也被称为商规则（Quotient Rule），是微积分中的一个基本概念，用于求解两个函数相除所得新函数的导数。这一规则对于解决复杂的数学问题非常有用，尤其是在物理学、工程学以及经济学等领域中。

商规则的公式

如果有一个函数 \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)，其中 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 是可导函数，并且 \(g(x) \neq 0\)，那么 \(h(x)\) 的导数 \(h'(x)\) 可以通过以下公式计算：

\[ h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \]

这里，\(f'(x)\) 表示 \(f(x)\) 的导数，\(g'(x)\) 表示 \(g(x)\) 的导数。这个公式直观地表明了新函数导数的分子是原分子函数导数与分母函数乘积减去原分母函数导数与分子函数乘积的结果，而分母则是分母函数的平方。

应用实例

假设我们有函数 \(h(x) = \frac{x^2}{x+1}\)，要找到 \(h(x)\) 的导数。根据商规则，首先确定 \(f(x) = x^2\) 和 \(g(x) = x + 1\)，然后计算它们的导数 \(f'(x) = 2x\) 和 \(g'(x) = 1\)。将这些值代入商规则公式中得到：

\[ h'(x) = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2} \]

\[ = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} \]

\[ = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \]

因此，\(h(x) = \frac{x^2}{x+1}\) 的导数为 \(h'(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}\)。

总结

商规则是微积分学习中的一个重要内容，掌握它不仅有助于解决数学问题，也能在实际应用中发挥重要作用。理解和熟练运用这个规则，可以大大简化复杂函数求导的过程，提高解决问题的效率。