题目：探索数学之美——3的平方根

在数学的世界里，存在着许多令人着迷的概念和理论。其中，平方根是一个既基础又复杂的概念。今天，我们就来一起探讨一个特别的平方根——3的平方根。

首先，让我们回顾一下平方根的基本定义。对于任意正数a，如果存在一个非负实数b，使得b²=a，则称b为a的平方根。记作√a。例如，4的平方根是2，因为2²=4；9的平方根是3，因为3²=9。

现在，我们把目光转向3的平方根。很遗憾，3的平方根并不是一个有理数（即两个整数的比例），而是一个无理数。这意味着它不能被精确地表示为两个整数的比值。然而，这并不妨碍我们去近似计算它的值。实际上，3的平方根大约等于1.7320508075688772...，这个数字可以无限延伸下去，没有重复的模式。

为什么说3的平方根是一个无理数呢？这里需要用到反证法。假设√3是有理数，那么它可以表示成最简分数形式m/n，其中m和n都是整数，并且m与n互质（即最大公约数为1）。根据这个假设，我们可以得到(m/n)²=3，进一步推导出m²=3n²。这表明m²是3的倍数，因此m也必须是3的倍数。设m=3k，则有(3k)²=3n²，简化后得到3k²=n²。这说明n²也是3的倍数，进而得出n也是3的倍数。但是，这与我们的前提条件（m与n互质）相矛盾。因此，我们可以得出结论：3的平方根确实是一个无理数。

尽管3的平方根无法用有限的小数或分数形式精确表示，但它在几何学、物理学等领域中有着广泛的应用。例如，在计算等边三角形的高时，就经常需要用到3的平方根。

总之，3的平方根是一个无理数，其近似值约为1.7320508075688772...。虽然它不能被精确地表示出来，但这并没有影响到它在实际问题中的应用价值。通过研究这类特殊的数，我们能够更深刻地理解数学的魅力所在。