向量的模，也称为向量的长度或范数，是衡量向量大小的一种方式。在二维或三维空间中，向量的模直观地表示从原点到该向量终点的距离。求解向量的模可以应用到多个领域，如物理学中的力的合成与分解、工程学中的应力分析等。

向量的定义

首先，我们来回顾一下向量的概念。向量是一个具有大小和方向的量，通常用带箭头的线段表示。在数学上，一个向量可以用一组有序的数（分量）来表示，例如，在二维空间中，一个向量 \(\vec{v}\) 可以表示为 \((x, y)\)，其中 \(x\) 和 \(y\) 分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

求向量的模

对于一个 n 维向量 \(\vec{v} = (v_1, v_2, ..., v_n)\)，其模长（或范数）定义为：

\[|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2}\]

这个公式实际上是勾股定理在多维空间中的推广。对于二维向量 \(\vec{v} = (x, y)\)，其模长为：

\[|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\]

对于三维向量 \(\vec{v} = (x, y, z)\)，其模长为：

\[|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]

示例

假设有一个三维向量 \(\vec{v} = (3, 4, 12)\)，我们可以根据上述公式计算其模长：

\[|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\]

因此，向量 \(\vec{v}\) 的模长为 13。

通过这种方式，我们可以计算任何维度的向量的模长，这为我们理解和处理向量提供了强大的工具。