要证明一个函数是有界的，首先需要明确“有界”的定义。在数学中，如果存在两个实数 \(M\) 和 \(m\)，使得对于函数 \(f(x)\) 定义域中的所有 \(x\)，都有 \(m \leq f(x) \leq M\)，那么我们就说这个函数是上界为 \(M\)，下界为 \(m\) 的有界函数。

证明一个函数是有界的，通常需要采取以下几种方法：

1. 直接求解法

直接通过分析函数表达式来寻找合适的上下界 \(M\) 和 \(m\)。例如，对于函数 \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\)，可以观察到分母始终大于等于1（因为 \(x^2 \geq 0\)），因此 \(f(x)\) 的值总是介于0和1之间（不包括0，但包括1）。这样我们就可以证明该函数在区间 \((0, 1]\) 内是有界的。

2. 利用已知的有界性

利用已知的其他函数的有界性来推导目标函数的有界性。比如，我们知道正弦函数 \(\sin(x)\) 在整个实数范围内是有界的，其值域为 \([-1, 1]\)。如果我们要证明函数 \(g(x) = 2\sin(x) + 3\) 是有界的，可以通过观察 \(\sin(x)\) 的范围来得出结论：\(g(x)\) 的值域将是 \([1, 5]\)，从而证明 \(g(x)\) 是有界的。

3. 极限与连续性

如果函数在某一点或区间内连续，并且在该点或区间的极限存在，则可以利用极限值来判断函数是否有界。例如，若函数 \(h(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，且 \(h(a)\) 和 \(h(b)\) 都是有限值，则根据中间值定理，\(h(x)\) 在 \([a, b]\) 上是有界的。

4. 导数分析

对于可导函数，可以通过分析其导数来确定函数的变化趋势，进而推测函数是否有界。如果一个函数在整个定义域内导数有界，那么函数本身也可能是有界的。例如，考虑 \(f(x) = \sqrt{x}\)，其导数 \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) 当 \(x > 0\) 时是有界的，但这并不足以证明原函数 \(f(x)\) 有界，因为 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处未定义且当 \(x\) 趋近于0时 \(f(x)\) 趋向无穷大。

综上所述，证明一个函数是有界的，需要结合具体函数的特点选择合适的方法。在实际操作中，可能需要综合运用多种策略来完成证明。