阶乘是数学中一个非常基础且重要的概念，特别是在组合数学和概率论等领域有着广泛的应用。对于非负整数n，n的阶乘（记作n!）定义为从1乘到n的所有正整数的乘积。具体来说，阶乘的定义如下：

\[ n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n-1) \times n \]

特别地，0的阶乘被定义为1，即 \(0! = 1\)。

阶乘没有一个简单的闭合形式的公式来直接计算其值，但可以通过递归或迭代的方式计算。例如，递归定义可以表示为：

\[ n! = \begin{cases}

1 & \text{如果 } n = 0 \\

n \times (n-1)! & \text{如果 } n > 0

\end{cases} \]

而迭代的方法则是从1开始连续乘以每个正整数直到n。

阶乘的一个有趣特性是它的增长速度非常快。例如，\(10! = 3,628,800\)，而\(20!\)已经达到了惊人的 \(2,432,902,008,176,640,000\)。这种快速增长使得阶乘在处理大规模数据时非常重要，但在实际计算中也带来了挑战，尤其是在计算机科学领域，如何高效地计算大数的阶乘是一个需要解决的问题。

阶乘还与许多数学概念紧密相关，比如排列数和组合数。排列数 \(P(n, k)\) 表示从n个不同元素中取出k个元素的排列总数，其计算公式为：

\[ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \]

组合数 \(C(n, k)\) 则表示从n个不同元素中取出k个元素的组合总数，其计算公式为：

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

这些概念在统计学、概率论以及各种算法设计中都有着广泛的应用。阶乘的定义和性质不仅体现了数学的简洁美，也是深入理解更高级数学理论的基础。