三角函数是数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、建筑等领域。以下是高中及大学阶段常见的三角函数关系公式总结，帮助理解与记忆。

基本定义

三角函数的基础建立在直角三角形中。设∠A为直角三角形的一个锐角，则有：

- 正弦（sin）：对边/斜边 = a/c

- 余弦（cos）：邻边/斜边 = b/c

- 正切（tan）：对边/邻边 = a/b

- 余切（cot）：邻边/对边 = b/a

- 正割（sec）：斜边/邻边 = c/b

- 余割（csc）：斜边/对边 = c/a

同角三角函数关系

1. 平方关系

sin²θ + cos²θ = 1

tan²θ + 1 = sec²θ

cot²θ + 1 = csc²θ

2. 商数关系

tanθ = sinθ / cosθ

cotθ = cosθ / sinθ

3. 倒数关系

secθ = 1 / cosθ

cscθ = 1 / sinθ

cotθ = 1 / tanθ

和差公式

1. sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ

2. cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ

3. tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)

倍角公式

1. sin2θ = 2sinθcosθ

2. cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ

3. tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)

半角公式

1. sin²(θ/2) = (1 - cosθ) / 2

2. cos²(θ/2) = (1 + cosθ) / 2

3. tan²(θ/2) = (1 - cosθ) / (1 + cosθ)

积化和差与和差化积

1. 积化和差

sinAcosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2

cosAsinB = [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2

cosAcosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2

sinAsinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2

2. 和差化积

sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

总结

以上公式涵盖了三角函数的基本性质、恒等变换以及运算技巧。熟练掌握这些公式不仅能够简化复杂的计算，还能提高解题效率。通过反复练习与应用，三角函数的学习将更加得心应手。