全微分方程的解法步骤

全微分方程是数学分析中一类特殊的微分方程，其形式为 \( M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \)，其中 \( M(x, y) \) 和 \( N(x, y) \) 是连续可微函数。如果存在一个二元函数 \( u(x, y) \)，使得 \( du = M(x, y)dx + N(x, y)dy \)，则称该方程为全微分方程。以下是求解全微分方程的一般步骤：

第一步：验证是否为全微分方程。通过计算 \( \frac{\partial M}{\partial y} \) 和 \( \frac{\partial N}{\partial x} \)，若两者相等，则说明该方程是全微分方程。

第二步：确定原函数 \( u(x, y) \)。从 \( M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \) 出发，将 \( M(x, y) \) 对 \( x \) 积分得到 \( u(x, y) \)，同时将积分结果中的任意常数视为仅依赖于 \( y \) 的函数 \( \phi(y) \)。

第三步：利用 \( N(x, y) \) 确定 \( \phi(y) \)。将 \( u(x, y) \) 对 \( y \) 求偏导并与 \( N(x, y) \) 对比，从而确定 \( \phi'(y) \)，进一步积分得到 \( \phi(y) \)。

第四步：写出通解。将 \( u(x, y) \) 表达式代入，令其等于一个常数 \( C \)，即 \( u(x, y) = C \)，得到全微分方程的通解。

例如，对于方程 \( (2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy = 0 \)，经过验证 \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \)，我们先对 \( M(x, y) = 2xy + y^2 \) 关于 \( x \) 积分得 \( u(x, y) = x^2y + xy^2 + \phi(y) \)，再根据 \( N(x, y) = x^2 + 2xy \) 确定 \( \phi(y) \)，最终得到通解。

全微分方程的解法逻辑性强，步骤清晰，是解决实际问题的重要工具之一。