arccos(x) 的不定积分
在数学分析中，不定积分是求解函数原函数的过程。对于某些特定函数，如反三角函数 \( \arccos(x) \)，其不定积分可以通过分部积分法或代换法来求解。本文将详细探讨 \( \arccos(x) \) 的不定积分及其推导过程。
首先，我们需要明确 \( \arccos(x) \) 的定义域和性质。函数 \( \arccos(x) \) 的定义域为 \([-1, 1]\)，值域为 \([0, \pi]\)，且满足关系式：
\[
\cos(\arccos(x)) = x \quad (\text{当 } x \in [-1, 1])
\]
要计算 \( \int \arccos(x) \, dx \)，我们可以采用分部积分法。分部积分公式为：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
令 \( u = \arccos(x) \)，则 \( du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)；同时令 \( dv = dx \)，则 \( v = x \)。将这些代入分部积分公式：
\[
\int \arccos(x) \, dx = x \cdot \arccos(x) - \int x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx
\]
化简后得到：
\[
\int \arccos(x) \, dx = x \cdot \arccos(x) + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx
\]
接下来，我们处理第二项积分 \( \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)。通过变量代换法，设 \( t = 1-x^2 \)，则 \( dt = -2x \, dx \)，即 \( x \, dx = -\frac{1}{2} \, dt \)。代入后，积分变为：
\[
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C
\]
因此，最终结果为：
\[
\int \arccos(x) \, dx = x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + C
\]
总结来看，\( \arccos(x) \) 的不定积分为：
\[
\boxed{\int \arccos(x) \, dx = x \cdot \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + C}
\]
这一结果不仅展示了分部积分法的强大应用，也体现了数学中变量代换技巧的重要性。通过这种推导过程，我们可以更好地理解反三角函数的积分特性，并将其应用于更复杂的实际问题中。
