如何求解二次函数的最小值

二次函数是数学中一种常见的函数形式，通常表示为 \(y = ax^2 + bx + c\)（其中 \(a \neq 0\)）。根据其开口方向的不同，二次函数可能有最大值或最小值。当系数 \(a > 0\) 时，抛物线开口向上，此时函数存在最小值；而当 \(a < 0\) 时，抛物线开口向下，则存在最大值。

为了找到二次函数的最小值，我们可以采用以下两种方法：

方法一：利用顶点公式

二次函数的图像是一条抛物线，其顶点是函数图像的最低点（当 \(a > 0\) 时）或最高点（当 \(a < 0\) 时）。顶点的横坐标可以通过公式 \(x = -\frac{b}{2a}\) 计算得出。将此 \(x\) 值代入原函数表达式即可得到对应的最小值（或最大值）。

例如，对于函数 \(y = 2x^2 - 4x + 1\)，首先确定 \(a = 2\)，\(b = -4\)，\(c = 1\)。计算顶点的横坐标：

\[ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 \]

然后将 \(x = 1\) 代入原函数求得最小值：

\[ y = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 \]

因此，该函数的最小值为 \(-1\)。

方法二：通过配方法

另一种方式是将二次函数配方成标准形式 \(y = a(x-h)^2 + k\)，其中 \((h, k)\) 即为顶点坐标。当 \(a > 0\) 时，\(k\) 就是函数的最小值。

仍以 \(y = 2x^2 - 4x + 1\) 为例，先提取 \(a\) 的系数：

\[ y = 2(x^2 - 2x) + 1 \]

接着完成平方：

\[ y = 2[(x-1)^2 - 1] + 1 = 2(x-1)^2 - 2 + 1 = 2(x-1)^2 - 1 \]

由此可知，顶点为 \((1, -1)\)，函数的最小值为 \(-1\)。

无论是哪种方法，最终目标都是确定顶点的位置并计算对应的函数值。掌握这两种技巧，能够快速准确地解决涉及二次函数最值的问题。