tan120°的值及其推导

在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具。其中，正切函数（tan）是描述某一角度的对边与邻边比值的关键函数之一。那么，tan120°的值是多少呢？我们可以通过几何和单位圆的方法来解答。

首先，120°是一个位于第二象限的角度。在单位圆上，120°对应的点位于x轴负半轴和y轴正半轴之间。根据三角函数的定义，tanθ = sinθ / cosθ。因此，要计算tan120°，我们需要分别求出sin120°和cos120°的值。

在单位圆中，120°可以表示为180°减去60°。利用诱导公式，我们可以知道：

- sin(180° - θ) = sinθ

- cos(180° - θ) = -cosθ

因此，sin120° = sin60° = √3/2，而cos120° = -cos60° = -1/2。将这两个值代入tan120°的公式中：

tan120° = sin120° / cos120° = (√3/2) / (-1/2) = -√3。

所以，tan120°的值为-√3。

从几何角度看，120°位于第二象限，而正切函数在此象限内取负值。这进一步验证了结果的合理性。此外，tan120°也可以通过反三角函数计算得出，其值约为-1.732。

总之，tan120°的值为-√3，这一结论来源于三角函数的基本定义以及单位圆的几何性质。掌握此类计算方法有助于深入理解三角函数的周期性和象限特性，也为解决更复杂的数学问题奠定了基础。