复数运算公式大全

复数是数学中一种重要的数集，它由实部和虚部组成，通常表示为 \( z = a + bi \)，其中 \( a, b \) 为实数，\( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)。复数在物理学、工程学以及信号处理等领域有着广泛应用。以下是复数运算的基本公式及核心性质。

一、复数的加减法

复数的加减法遵循实部与实部相加减、虚部与虚部相加减的原则：

\[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]

\[ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i \]

二、复数的乘法

复数的乘法利用分配律展开，并结合 \( i^2 = -1 \) 进行化简：

\[ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]

三、复数的除法

复数的除法需要将分母有理化。设 \( z_1 = a + bi \)，\( z_2 = c + di \neq 0 \)，则：

\[

\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

\]

即：

\[

\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i

\]

四、共轭复数

复数 \( z = a + bi \) 的共轭复数记作 \( \overline{z} = a - bi \)。共轭复数具有以下性质：

1. \( z + \overline{z} = 2a \)（实部的两倍）；

2. \( z - \overline{z} = 2bi \)（虚部的两倍）；

3. \( z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 \)（模平方）。

五、复数的模与辐角

复数的模定义为 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)，表示复数到原点的距离；辐角 \( \theta \) 满足 \( \tan\theta = \frac{b}{a} \)，通常取主值 \( (-\pi, \pi] \)。极坐标形式为：

\[ z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \]

六、欧拉公式

复数可以表示为指数形式，即：

\[ z = re^{i\theta}, \quad r = |z|, \theta = \arg(z) \]

基于此，复数的乘法和除法可简化为：

\[ z_1z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \]

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)} \]

总结

以上公式涵盖了复数的基本运算规则及其几何意义。熟练掌握这些公式，不仅能帮助解决复杂的代数问题，还能为深入学习复变函数奠定基础。复数作为连接代数与几何的重要桥梁，在现代科学中发挥着不可替代的作用。