二重积分典型例题解析
二重积分是高等数学中的重要内容，广泛应用于物理、工程及经济学等领域。其核心思想是将复杂的二维区域的面积或质量分布问题转化为累次积分计算。通过典型例题的解析，可以帮助我们更好地掌握二重积分的基本原理和解题技巧。
典型例题解析
题目： 计算由曲线 $ y = x^2 $ 和直线 $ y = 4 $ 围成的区域关于 $ x $-轴的转动惯量（密度为常数 $ \rho $）。
解题步骤：
1. 确定积分区域：
根据题目条件，积分区域为 $ y = x^2 $ 和 $ y = 4 $ 所围成的部分。首先求交点：
$$
x^2 = 4 \implies x = -2, x = 2.
$$
因此，积分区域为 $ -2 \leq x \leq 2 $，且对于每个固定的 $ x $，$ y $ 的范围为 $ x^2 \leq y \leq 4 $。
2. 建立积分公式：
转动惯量的公式为：
$$
I_x = \rho \iint_R y^2 \, dA,
$$
其中 $ R $ 是积分区域，$ dA = dx\,dy $。因此，二重积分可表示为：
$$
I_x = \rho \int_{-2}^2 \int_{x^2}^4 y^2 \, dy \, dx.
$$
3. 化简内层积分：
对 $ y $ 积分：
$$
\int_{x^2}^4 y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{x^2}^4 = \frac{4^3}{3} - \frac{(x^2)^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{x^6}{3}.
$$
4. 外层积分计算：
将结果代入外层积分：
$$
I_x = \rho \int_{-2}^2 \left( \frac{64}{3} - \frac{x^6}{3} \right) dx.
$$
分离积分项：
$$
I_x = \rho \left( \frac{64}{3} \int_{-2}^2 1 \, dx - \frac{1}{3} \int_{-2}^2 x^6 \, dx \right).
$$
第一项直接计算：
$$
\int_{-2}^2 1 \, dx = 4.
$$
第二项利用对称性：
$$
\int_{-2}^2 x^6 \, dx = 2 \int_0^2 x^6 \, dx = 2 \cdot \frac{x^7}{7} \Big|_0^2 = 2 \cdot \frac{2^7}{7} = \frac{256}{7}.
$$
因此：
$$
I_x = \rho \left( \frac{64}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot \frac{256}{7} \right) = \rho \left( \frac{256}{3} - \frac{256}{21} \right).
$$
化简分数：
$$
\frac{256}{3} - \frac{256}{21} = \frac{1792}{21} - \frac{256}{21} = \frac{1536}{21}.
$$
最终结果为：
$$
I_x = \rho \cdot \frac{1536}{21}.
$$
总结：
本题通过明确积分区域、合理分解积分以及利用对称性简化计算，展示了二重积分的实际应用。掌握这类题目的解题思路，能够帮助我们更高效地解决类似问题。二重积分的学习需要结合几何直观与代数运算，不断积累经验才能更加得心应手。
最终答案：
$$
\boxed{I_x = \rho \cdot \frac{1536}{21}}
$$
