函数 \( x\sin x \) 的不定积分解析

在数学分析中，不定积分是求解原函数的过程，其重要性不言而喻。本文将探讨函数 \( f(x) = x\sin x \) 的不定积分问题，并通过分部积分法详细推导其结果。

一、分部积分法的基本原理

分部积分法来源于乘积法则的逆向应用，其公式为：

\[

\int u \, dv = uv - \int v \, du

\]

其中，\( u \) 和 \( v \) 是两个变量，分别对其求导和积分。这种方法特别适用于被积函数由两部分乘积构成的情形，如本文中的 \( x\sin x \)。

二、具体推导过程

设 \( u = x \)，则 \( du = dx \)；设 \( dv = \sin x \, dx \)，则 \( v = -\cos x \)。根据分部积分公式，我们有：

\[

\int x\sin x \, dx = -x\cos x + \int \cos x \, dx

\]

接下来计算剩余的积分 \( \int \cos x \, dx \)。显然，\( \int \cos x \, dx = \sin x \)。因此，原式可以化简为：

\[

\int x\sin x \, dx = -x\cos x + \sin x + C

\]

其中，\( C \) 为积分常数。

三、结果验证

为了验证上述结果是否正确，我们可以对 \( -x\cos x + \sin x + C \) 求导。具体地：

\[

\frac{d}{dx} \left( -x\cos x + \sin x + C \right) = -(\cos x - x\sin x) + \cos x = x\sin x

\]

可见，结果与原函数一致，证明推导无误。

四、结论

综上所述，函数 \( x\sin x \) 的不定积分为：

\[

\int x\sin x \, dx = -x\cos x + \sin x + C

\]

这一结论不仅体现了分部积分法的强大功能，也展示了数学推导的严谨性和逻辑性。对于类似形式的积分问题，分部积分法是一个非常有效的工具，值得深入掌握和灵活运用。