求偏导数的例题详解

在多元函数中，偏导数是研究函数局部变化的重要工具。它表示函数关于某一变量的变化率，而其他变量保持不变。下面我们通过一个具体的例子来详细讲解如何求偏导数。

假设我们有一个二元函数 \( z = f(x, y) = x^2y + 3xy^2 - 4x + 5y \)，要求其对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数。

求对 \( x \) 的偏导数

在求偏导数时，我们将其他变量视为常数。对于 \( f(x, y) = x^2y + 3xy^2 - 4x + 5y \)，固定 \( y \) 为常数，仅对 \( x \) 进行求导：

1. 对于 \( x^2y \)，由于 \( y \) 是常数，所以对 \( x \) 求导得到 \( 2xy \)。

2. 对于 \( 3xy^2 \)，同样因为 \( y^2 \) 是常数，所以对 \( x \) 求导得到 \( 3y^2 \)。

3. 对于 \( -4x \)，直接求导得到 \( -4 \)。

4. 对于 \( 5y \)，由于 \( y \) 是常数，对 \( x \) 求导结果为 0。

将上述结果相加，得到对 \( x \) 的偏导数：

\[

f_x(x, y) = 2xy + 3y^2 - 4

\]

求对 \( y \) 的偏导数

接下来，固定 \( x \) 为常数，仅对 \( y \) 进行求导：

1. 对于 \( x^2y \)，\( x^2 \) 是常数，对 \( y \) 求导得到 \( x^2 \)。

2. 对于 \( 3xy^2 \)，\( 3x \) 是常数，对 \( y \) 求导得到 \( 6xy \)。

3. 对于 \( -4x \)，由于 \( x \) 是常数，对 \( y \) 求导结果为 0。

4. 对于 \( 5y \)，直接求导得到 \( 5 \)。

将上述结果相加，得到对 \( y \) 的偏导数：

\[

f_y(x, y) = x^2 + 6xy + 5

\]

总结

通过以上步骤，我们得到了函数 \( f(x, y) = x^2y + 3xy^2 - 4x + 5y \) 的偏导数：

- 对 \( x \) 的偏导数为 \( f_x(x, y) = 2xy + 3y^2 - 4 \)；

- 对 \( y \) 的偏导数为 \( f_y(x, y) = x^2 + 6xy + 5 \)。

求偏导数的关键在于理解“固定其他变量为常数”的原则，并熟练运用基本的求导规则。这种方法不仅适用于简单的多项式函数，还可以推广到更复杂的复合函数和隐函数中。掌握这一技巧，可以帮助我们更好地分析函数的性质及其在实际问题中的应用。