三垂线定理的证明

三垂线定理是立体几何中的一个重要定理，其内容为：在空间中，若一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内任意一条直线所成的角等于它与平面内某条直线在该平面上的射影所成的角。这一结论在解决空间几何问题时具有广泛的应用。

为了证明三垂线定理，我们首先明确相关的概念和符号。设有一条直线\( l \)垂直于平面\(\alpha\)，平面\(\alpha\)内存在一条直线\( m \)，并且\( l \)与\( m \)在平面\(\alpha\)上的射影为\( m' \)。我们需要证明：\( l \)与\( m \)所成的角等于\( l \)与\( m' \)所成的角。

证明过程

1. 建立坐标系

假设平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}\)，且直线\( l \)的方向向量为\(\vec{v}\)。由于\( l \perp \alpha\)，因此\(\vec{v} \parallel \vec{n}\)。设直线\( m \)的方向向量为\(\vec{u}\)，则\( m \)位于平面\(\alpha\)内，意味着\(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\)（即\(\vec{u}\)与\(\vec{n}\)垂直）。

2. 射影关系

根据射影的定义，直线\( m \)在平面\(\alpha\)上的射影\( m' \)的方向向量为\(\vec{u}' = \vec{u} - (\vec{u} \cdot \hat{\vec{n}})\hat{\vec{n}}\)，其中\(\hat{\vec{n}} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\)为单位法向量。显然，\(\vec{u}' \parallel \alpha\)，即\(\vec{u}'\)完全位于平面\(\alpha\)内。

3. 角度计算

直线\( l \)与\( m \)所成的角\(\theta_1\)由公式\(\cos\theta_1 = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{u}|}{|\vec{v}||\vec{u}|}\)确定；而直线\( l \)与\( m' \)所成的角\(\theta_2\)由\(\cos\theta_2 = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{u}'|}{|\vec{v}||\vec{u}'|}\)确定。

注意到\(\vec{u}' = \vec{u} - (\vec{u} \cdot \hat{\vec{n}})\hat{\vec{n}}\)，代入后有：

\[

\vec{v} \cdot \vec{u}' = \vec{v} \cdot \vec{u} - (\vec{u} \cdot \hat{\vec{n}})(\vec{v} \cdot \hat{\vec{n}})

\]

因为\(\vec{v} \parallel \vec{n}\)，所以\(\vec{v} \cdot \hat{\vec{n}} = |\vec{v}|\)，进而得到\(\vec{v} \cdot \vec{u}' = \vec{v} \cdot \vec{u}\)。由此可知\(\cos\theta_1 = \cos\theta_2\)，即\(\theta_1 = \theta_2\)。

4. 结论

综上所述，直线\( l \)与平面\(\alpha\)内直线\( m \)所成的角等于它与\( m \)在平面\(\alpha\)上的射影\( m' \)所成的角，三垂线定理得证。

三垂线定理不仅揭示了空间几何中角度关系的本质，还为解决复杂的几何问题提供了简洁的方法，是数学学习的重要基础之一。