sin²x 的导数解析

在数学中，函数的导数是研究其变化率的重要工具。当我们讨论 \( \sin^2 x \)（即正弦函数平方）的导数时，需要运用链式法则和基本导数公式进行推导。

首先，明确 \( \sin^2 x \) 的定义：它表示正弦函数的平方，即 \( (\sin x)^2 \)。根据复合函数的求导规则，我们将其视为两个函数的组合：外层为 \( u^2 \)，内层为 \( \sin x \)，其中 \( u = \sin x \)。因此，可以写成 \( f(x) = (g(x))^2 \)，其中 \( g(x) = \sin x \)。

接下来，利用链式法则计算其导数。链式法则表明，若 \( y = f(g(x)) \)，则 \( \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)。在此例中：

- 外层函数 \( f(u) = u^2 \)，其导数为 \( f'(u) = 2u \)；

- 内层函数 \( g(x) = \sin x \)，其导数为 \( g'(x) = \cos x \)。

将两者结合，得到：

\[

\frac{d}{dx}(\sin^2 x) = 2(\sin x) \cdot \cos x

\]

进一步简化后，可得：

\[

\frac{d}{dx}(\sin^2 x) = \sin(2x)

\]

这里利用了三角恒等式 \( 2\sin x \cos x = \sin(2x) \)，使表达更加简洁。

总结来说，\( \sin^2 x \) 的导数为 \( \sin(2x) \)。这一结果不仅展示了导数计算的基本方法，还体现了数学中不同知识点之间的联系。掌握此类问题的解法，有助于解决更复杂的微积分问题，同时加深对函数性质的理解。