施密特正交化的详细计算
施密特正交化是一种将线性无关向量组转化为标准正交基的方法，广泛应用于数学、物理和工程领域。其核心思想是通过逐步投影和减法操作，使向量彼此正交并保持线性无关性。本文将详细介绍施密特正交化的具体步骤及其计算过程。
假设我们有线性无关的向量组 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$，目标是将其转化为标准正交向量组 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$。以下是详细的计算步骤：
第一步：初始化
首先，令第一个向量保持不变，即：
$$
\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1
$$
第二步：递归构造正交向量
对于 $i = 2, 3, \dots, n$，按照以下公式递归计算正交向量 $\mathbf{u}_i$：
$$
\mathbf{u}_i = \mathbf{v}_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{u}_j \rangle}{\langle \mathbf{u}_j, \mathbf{u}_j \rangle} \mathbf{u}_j
$$
其中，$\langle \cdot, \cdot \rangle$ 表示内积运算（如欧几里得空间中的点积）。这个公式的意义是：从 $\mathbf{v}_i$ 中减去它在前 $i-1$ 个正交向量上的投影分量，从而保证 $\mathbf{u}_i$ 与之前的向量正交。
第三步：标准化为单位向量
为了得到标准正交向量组，将每个正交向量 $\mathbf{u}_i$ 归一化为单位向量：
$$
\mathbf{e}_i = \frac{\mathbf{u}_i}{\|\mathbf{u}_i\|}
$$
其中 $\|\mathbf{u}_i\|$ 表示 $\mathbf{u}_i$ 的模长。
示例计算
以二维空间为例，设向量组为 $\mathbf{v}_1 = (1, 1)$ 和 $\mathbf{v}_2 = (1, 0)$。我们依次计算：
1. 初始化：$\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 = (1, 1)$。
2. 计算 $\mathbf{u}_2$：
$$
\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle}{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle} \mathbf{u}_1
$$
其中：
$$
\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1, \quad \langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle = 1^2 + 1^2 = 2
$$
因此：
$$
\mathbf{u}_2 = (1, 0) - \frac{1}{2}(1, 1) = \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right)
$$
3. 标准化：
$$
\mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|} = \frac{(1, 1)}{\sqrt{2}}, \quad \mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|} = \frac{\left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right)}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)
$$
最终结果为标准正交向量组 $\mathbf{e}_1 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ 和 $\mathbf{e}_2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$。
通过以上步骤，施密特正交化方法能够高效地将任意线性无关向量组转换为标准正交基，体现了其强大的实用价值。
