cos⁴x 的不定积分

在高等数学中，不定积分是求解函数原函数的重要工具。本文将探讨如何计算 $\cos^4x$ 的不定积分。这是一个典型的三角函数幂次问题，通常需要通过降幂公式和分步分解的方法来解决。

首先，我们回顾一个重要的三角恒等式：$\cos^2x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$。利用这一公式，我们可以将 $\cos^4x$ 表达为更简单的形式。具体地，$\cos^4x = (\cos^2x)^2$，因此：

$$

\cos^4x = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)).

$$

接下来，我们需要处理 $\cos^2(2x)$。再次使用上述恒等式，可以得到 $\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$。将其代入上式后，$\cos^4x$ 可进一步化简为：

$$

\cos^4x = \frac{1}{4} \left(1 + 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right).

$$

展开并整理后，得到：

$$

\cos^4x = \frac{1}{8} + \frac{1}{4}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x).

$$

现在，我们对每一项分别求不定积分。对于常数项 $\frac{1}{8}$，其积分结果为 $\frac{x}{8}$；对于 $\frac{1}{4}\cos(2x)$，其积分结果为 $\frac{\sin(2x)}{8}$；对于 $\frac{1}{8}\cos(4x)$，其积分结果为 $\frac{\sin(4x)}{32}$。

因此，$\cos^4x$ 的不定积分为：

$$

\int \cos^4x \, dx = \frac{x}{8} + \frac{\sin(2x)}{8} + \frac{\sin(4x)}{32} + C,

$$

其中 $C$ 是积分常数。

总结来看，求解 $\cos^4x$ 的不定积分需要灵活运用三角恒等式进行降幂，并分步计算每一项的积分。这种方法不仅适用于 $\cos^4x$，也可以推广到更高次幂的三角函数积分问题中。通过掌握这些技巧，我们可以更高效地解决复杂的积分问题。